Question

【題目】拋物線：過點.

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)為軸上一點，為拋物線上任意一點，求的最小值；

（3）過拋物線的焦點，作相互垂直的兩條弦和，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，的最小值為；當時，的最小值為（3）32

【解析】

（1）將點代入拋物線方程，解出，即可求出；

（2）設(shè)出點，根據(jù)距離公式表示出，再根據(jù)二次函數(shù)知識即可求出；

（3）由題可知兩直線斜率都存在，所以設(shè)：，：，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求出，，根據(jù)弦長公式即可求出和的長，然后根據(jù)基本不等式即可求出．

（1）將點代入拋物線方程，得，解得，

所以拋物線的方程為：．

（2）設(shè)點，則，．

所以．

設(shè)，對稱軸為，

當即時，在上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為；

當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，的最小值為．

綜上，當時，的最小值為；當時，的最小值為．

（3）由題可知兩直線斜率都存在，設(shè)，，

：，：，

由，化簡得，，所以，

同理可得，，即，，

故．

即的最小值為32．