Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

x．函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
①求g（x）的解析式．
②設(shè)h（x）=f（x）+g（x），求h（x）的最值和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：①根據(jù)函數(shù)圖象對稱的公式，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移的方法，可求得g（x）的解析式為y=log

1

2

(2-x)；
②根據(jù)題意，得h(x)=log

1

2

(2x-x2)，根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0，解不等式可得h（x）的定義域為（0，2），再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)y=h（x）的增區(qū)間是（1，2），減區(qū)間為（0，1）．最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得h（x）≥0，所以h（x）有最小值0，無最大值．

解答：解：①設(shè)P（x，g（x））是函數(shù)y=g（x）圖象上一點，P關(guān)于直線x=1對稱的點Q（x'，f（x'））在函數(shù)y=f（x）的圖象上
∴

x+x/ 2 =1 g(x)=f(x/)

，可得

x/=2-x f(x/)=g(x)

，
∴g（x）=f（x'）=f（2-x）=log

1

2

(2-x)
∴g（x）的解析式是g(x)=log

1

2

(2-x)  （4分）
②根據(jù)題意，得h(x)=log

1

2

x+log

1

2

(2-x)=log

1

2

(2x-x2)
 其中2x-x²＞0，即0＜x＜2，可得h（x）的定義域為（0，2），
令t=2x-x²，則當(dāng)x∈（0，1）時，t是關(guān)于x的增函數(shù)；當(dāng)x∈（1，2）時，t是關(guān)于x的減函數(shù)．（6分）
∵0＜

1

2

＜1，y=log

1

2

t是關(guān)于t的減函數(shù)
∴函數(shù)y=h（x）的增區(qū)間是（1，2），減區(qū)間為（0，1）
又∵0＜2x-x²=-（x-1）²+1≤1，（8分）
∴log

1

2

(2x-x2)≥log

1

2

1=0，即h（x）≥0
∴h（x）有最小值0，無最大值．（12分）

點評：本題以對數(shù)函數(shù)為例，求已知函數(shù)圖象關(guān)于直線x=1對稱的圖象對應(yīng)的函數(shù)的解析式，并求復(fù)合型二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與基本初等函數(shù)等知識點，屬于基礎(chǔ)題．