Question

四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PB垂直面ABCD，證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°．

Answer 1

答案：
解析：

解析：注意到題目中所給的二面角，面PAD與面PCD的棱為PD，圍繞PD而考慮問(wèn)題解決途徑． 　　證法一：利用定義法 　　經(jīng)A在PDA平面內(nèi)作AE⊥PD于E，連CE． 　　因底是正方形，故CD＝DA． 　　△CED≌△AED，AE＝EC，∠CED＝∠AED＝90°， 　　則CE⊥PD． 　　故∠CEA是面PAD與面PCD所成二面角的平面角． 　　設(shè)AC與BD交于O，連EO，則EO⊥AC． 　　因OA＝×＝a，AE＜AD＜a． 　　cos∠AEC＝＝＜0． 　　所以面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°． 　　證法二：運(yùn)用三垂線(xiàn)法 　　∵PB⊥面ABCD，則PB⊥AD，又AD⊥AB， 　　∴AD⊥面PAB，即面PAB⊥面PAD． 　　過(guò)B作BE⊥PA，則BE⊥面PAD． 　　在面PBC內(nèi)作PGBC，連GD． 　　經(jīng)C作CF⊥面PAD于F， 　　那么連結(jié)EF，有EFAD． 　　經(jīng)F作FH⊥PD于H，連CH， 　　則∠FHC是所求二面角平面角的補(bǔ)角． 　　因CF⊥FH，故∠FHC是銳角． 　　則面PAD與面PCD所成二面角大于90°． 　　此結(jié)論證明過(guò)程中與棱錐高無(wú)關(guān)． 　　證法三：利用垂面法找平面角． 　　在證法一所給圖形中 　　連AC、BD，因AC⊥BD，PB⊥面ABCD， 　　∴AC⊥PD． 　　經(jīng)A作AE⊥PD于E，那么有PD⊥面AEC，連CE， 　　即PD⊥CE． 　　故PD與平面AEC垂直后，面AEC與面ADC及面ADP的交線(xiàn)EA、EC構(gòu)成角∠CEA就是二面角的平面角． 　　以下同證法一．