Question

已知函數f（x）=lnx，g′（x）=x且g（2）=2．
（1）設函數F（x）=ag（x）-f（x）（其中a＞0），若F（x）沒有零點，求實數a的取值范圍；
（2）若p＞q＞0，總有m[g（p）-g（q）]＞pf（p）-qf（q）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出g（x）的表達式，以及函數F（x）的導數，利用F（x）沒有零點，建立條件關系，即可求實數a的取值范圍；
（2）構造函數，將不等式恒成立轉化為求函數的最值，利用導數即可得到結論．

解答： 解：（1）由g′（x）=x，可設g(x)=

1

2

x2+c，又由g（2）=2，解得c=0，所以g(x)=

1

2

x2．
所以F(x)=

a

2

x2-lnx，F′(x)=ax-

1

x

=

ax2-1

x

=

a

x

(x+

1 a

)(x-

1 a

)．
因為a＞0，F(xiàn)（x）的定義域為（0，+∞），
所以當時x＞

1 a

時，F(xiàn)'（x）＞0，0＜x＜

1 a

時，F(xiàn)'（x）＜0．
所以F（x）在(0，

1 a

)是減函數，在[

1 a

，+∞)上是增函數．
易知x→0⁺時，F(xiàn)（x）→+∞；x→+∞時，F(xiàn)（x）→+∞．
因為F（x）沒有零點，所以F（x）在（0，+∞）上的最小值是F(

1 a

)=

1

2

+

1

2

lna＞0，
解得a＞

1

e

．所以a的取值范圍為(

1

e

，+∞)．
（2）原問題即p＞q＞0時，mg（p）-pf（p）＞mg（q）-qf（q）恒成立．
令h(x)=mg(x)-xf(x)=

m

2

x2-xlnx，則h（x）在（0，+∞）上為單調遞增函數，
所以h'（x）=mx-lnx-1≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m≥

lnx+1

x

在（0，+∞）上恒成立．
令G(x)=

lnx+1

x

，則G′(x)=-

lnx

x2

，
所以當x∈（0，1）時，G′（x）＞0；x∈（1，+∞），G'（x）＜0．
所以G（x）的最大值為G（1）=1，所以m的取值范圍為[1，+∞）．

點評：本題主要考查導數的綜合應用，利用導數研究函數的最值，利用構造法構造函數是解決本題的關鍵．