Question

已知曲線y=x³+4
（1）求曲線在P（2，12）處的切線方程；
（2）求曲線過點P（2，4）的切線方程；
（3）求斜率為1的切線方程．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程即可得到切線方程；
（2）設(shè)切點，求出切線的斜率，得到切線的方程，代入點（2，4），再由切點在曲線上，解方程可得切點，進而得到切線方程；
（3）設(shè)切點，求得切線的斜率，令它為1，解方程可得切點，進而得到切線方程．

解答： 解：（1）y=x³+4的導(dǎo)數(shù)為y′=3x²，
則在P（2，12）處的切線斜率為3×4=12，
即有曲線在P（2，12）處的切線方程為y-12=12（x-2），
即為12x-y-12=0；
（2）設(shè)切點為（m，n），則過點P（2，4）的切線斜率為3m²，
即有切線方程為y-n=3m²（x-m），
代入（2，4）可得4-n=3m²（2-m），
又n=m³+4，
解得m=0，n=4或m=3，n=31．
即有切線方程為y-4=0或27x-y-50=0；
（3）設(shè)切點為（s，t），則切線的斜率為3s²=1，
即有s=±

3

3

，
則切點為（

3

3

，4+

3

9

），或（-

3

3

，4-

3

9

）．
則斜率為1的切線方程為x-y+4-

2 3

9

=0或x-y+4+

2 3

9

=0．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點處的切線的斜率，注意區(qū)別在某點處和過點的切線，屬于易錯題．