Question

7．已知2${\;}^{{x}^{2}+x}$≤（$\frac{1}{4}$）^x-2，
（1）求x的取值范圍；
（2）求函數y=2${\;}^{{x}^{2}+x}$+2的值域．

Answer 1

分析 （1）根據指數函數的單調性，把不等式化為x²+x≤-2（x-2），從而求出x的取值范圍；
（2）根據（1）中x的取值范圍，求出t=x²+x的取值范圍，即可求出函數y=2${\;}^{{x}^{2}+x}$+2值域．

解答 解：（1）不等式2${\;}^{{x}^{2}+x}$≤（$\frac{1}{4}$）^x-2可化為
${2}^{{x}^{2}+x}$≤2^-2（x-2），
即x²+x≤-2（x-2），
整理得x²+3x-4≤0，
解得-4≤x≤1，
所以x的取值范圍是-4≤x≤1；
（2）當-4≤x≤1時，設t=x²+x=${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，
則x=-$\frac{1}{2}$時，t=x²+x=-$\frac{1}{4}$為最小值，
函數y=2${\;}^{{x}^{2}+x}$+2=${2}^{-\frac{1}{4}}$+2取得最小值；
x=-4時，t=x²+x=12為最大值，
函數y=2${\;}^{{x}^{2}+x}$+2=2¹²+2取得最大值；
所以函數y=2${\;}^{{x}^{2}+x}$+2的值域是[${2}^{-\frac{1}{4}}$+2，2¹²+2]．

點評 本題考查了指數函數的圖象與性質的應用問題，也考查了轉化法與函數思想的應用問題，是綜合性題目．