Question

12．不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}$≥m對任意實數x都成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． m≤2
• B． m＜2
• C． m≤3
• D． m＜3

Answer 1

分析 由配方法化簡x²+x+1，將分式不等式等價轉化為3x²+2x+2≥m（x²+x+1），化簡后由恒成立問題和二次函數的性質列出不等式組，求出實數m的取值范圍．

解答 解：∵x²+x+1=${（x+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}＞0$恒成立，
∴不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}$≥m等價于3x²+2x+2≥m（x²+x+1），
即（3-m）x²+（2-m）x+2-m≥0對任意實數x都成立，
①當3-m=0，即m=3時，不等式為-x-1≥0，對任意實數x恒不成立；
②當3-m≠0，即m≠3時，
有$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{（2-m）^{2}-4×（3-m）×（2-m）≤0}\end{array}\right.$，解得m≤2，
綜上可得，實數m的取值范圍是（-∞，2]，
故選：A．

點評 本題考查了分式不等式的等價轉化與解法，一元二次不等式的解法，以及一元二次函數的性質，考查分類討論思想、轉化思想，化簡、變形能力．