Question

如圖，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥BC，E，F(xiàn)分別是A₁B，AC₁的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：平面AEF⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)三角形中位線定理可得EG平行BC，再由線面平行的判定定理，即可得到答案；
（2）證明BC⊥平面AA₁B₁B，利用EF∥BC，可得EF⊥平面AA₁B₁B，再利用平面與平面垂直的判定定理，即可得到答案．

解答： 證明：（1）連接A₁F，則A₁、F、C三點共線，
∵E、F分別是AC₁、BB₁的中點，
∴EF∥BC，
又EF?平面ABC，BC?平面AB₁C，
∴EF∥平面ABC；
（2）∵AB⊥BC，BC⊥BB₁，AB∩BB₁=B，
∴BC⊥平面AA₁B₁B，
∵EF∥BC，
∴EF⊥平面AA₁B₁B，
∵EF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面AA₁B₁B．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間中直線與平面平行和垂直的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．