Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在是增函數(shù)，導函數(shù)f′（x）在（-∞，1]上是減函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-f′（x）+3x²，求g（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-2ax-3，（1分）
∵f（x）在上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在恒成立
即在恒成立（3分）
又∵f′（x）在（-∞，1]上是減函數(shù)，∴，（5分）
∴a=3．（6分）

（Ⅱ）g（x）=x³-ax²-3x-（3x²-2ax-3）+3x²=x³-ax²-（3-2a）x+3
g′（x）=3x²-2ax+（2a-3）=0?x₁=1，x₂=（8分）
（�。┊攁≥3時，x，g′（x），g（x）的變化如下表：

∴增區(qū)間為：；減區(qū)間為：（10分）

（ⅱ）當a＜3時，x，g′（x），g（x）的變化如下表：

∴增區(qū)間為：；減區(qū)間為：．（12分）
分析：（Ⅰ）先求出原函數(shù)的導數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調遞增或遞減，轉化為f′（x）≥0在恒成立，列出關于a的不等關系解之即得；
（Ⅱ）先寫出g（x）的表達式，求出其導數(shù)，最后求出單調區(qū)間即可．利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性的步驟是：（1）確定
f（x）的定義域；（2）求導數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù) 的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定 的單調區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸思想．屬于基礎題．