Question

18．已知函數f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-x}$（a＞0）為奇函數，函數g（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$+b（b∈R）．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）若b＞1，討論方徎g（x）=ln|x|實數根的個數；
（Ⅲ）當x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]時，關于x的不等式f（1-x）≤lgg（x）有解，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$f（x）=lg\frac{1+ax}{1-x}（a＞0）$為奇函數得：f（-x）+f（x）=0，即可求a；
（Ⅱ）當b＞1時，設 $h（x）=g（x）-ln|x|=\frac{2}{x^2}+b-ln|x|$，則h（x）是偶函數且在（0，+∞）上遞減，即可討論方徎g（x）=ln|x|實數根的個數；
（Ⅲ）不等式f（1-x）≤lgg（x）等價于$\frac{2-x}{x}≤\frac{2}{x^2}+b$，即$b≥-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}-1$在$x∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$有解，故只需$b≥{（-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}-1）_{min}}$，即可求b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=lg\frac{1+ax}{1-x}（a＞0）$為奇函數得：f（-x）+f（x）=0，
即$lg\frac{1-ax}{1+x}+lg\frac{1+ax}{1-x}=lg\frac{{1-{a^2}{x^2}}}{{1-{x^2}}}=0$，（2分）
所以$\frac{{1-{a^2}{x^2}}}{{1-{x^2}}}=1$，解得a=1，（4分）
（Ⅱ）當b＞1時，設 $h（x）=g（x）-ln|x|=\frac{2}{x^2}+b-ln|x|$，
則h（x）是偶函數且在（0，+∞）上遞減
又$h（1）=2+b＞0，h（{e^{2b}}）=\frac{2}{{{e^{4b}}}}-b＜0$
所以h（x）在（0，+∞）上有惟一的零點，方徎g（x）=ln|x|有2個實數根．…（8分）
（Ⅲ）不等式f（1-x）≤lgg（x）等價于$\frac{2-x}{x}≤\frac{2}{x^2}+b$，
即$b≥-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}-1$在$x∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$有解，
故只需$b≥{（-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}-1）_{min}}$，（10分）
因為$x∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$，所以$\frac{1}{x}∈[2，3]$，
函數$y=-2{（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{2}$，
所以${y_{min}}=-2{（3-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{2}=-13$，
所以b≥-13，所以b的取值范圍是[-13，+∞）．（12分）

點評 本題考查函數的奇偶性、單調性、考查有解問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．