Question

設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）若k=0，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若k=1，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

解：（Ⅰ）k=0時(shí)，f（x）=e^x-x，f'（x）=e^x-1．
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）的最小值為f（0）=1．
（Ⅱ）若k=1，則，定義域?yàn)镽．
∴f'（x）=e^x-x-1，令g（x）=f'（x）=e^x-x-1，
則g′（x）=e^x-1，
由g'（x）≥0得x≥0，所以g（x）=f'（x）在[0，+∞）上遞增，
由g'（x）＜0得x＜0，所以g（x）=f'（x）在（-∞，0）上遞減，
所以，f'（x）_min=f'（0）=0，故f'（x）≥0．
所以f（x）在R上遞增．
分析：（Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)利用導(dǎo)數(shù)判斷出f（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求得其最小值；
（Ⅱ）當(dāng)k=1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出f′（x）的符號(hào)即可；
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，應(yīng)熟練掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值間的關(guān)系．