Question

已知函數f（x）=x²-alnx．
（Ⅰ）當x=1時f（x）取得極值，求函數的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[1，2]時，求函數f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出導函數，根據x=1時f（x）取得極值求出a=2；再令導函數大于0求出增區(qū)間，導函數小于0求出減區(qū)間即可；
（Ⅱ）先求出導函數f'（x），然后討論a研究函數在[1，e]上的單調性，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最小的一個就是最小值

解答：解：（I）f′(x)=2x-

a

x

，
∵f'（1）=0，∴a=2，
∴f(x)=x2-2lnx，f′(x)=2x-

2

x

f'（x）＞0，即x＞1時，函數f（x）=x²-2lnx單調遞增；
f'（x）＜0，即0＜x＜1時，函數f（x）=x²-2lnx單調遞減．
綜上：函數f（x）=x²-2lnx的單調遞增區(qū)間為（1，+∞）；
函數f（x）=x²-2lnx的單調遞減區(qū)間為（0，1）
（II）f′(x)=2x-

a

x

=

(2x2-a)

x

當a≤0時，x∈[1，2]，f'（x）＞0，函數遞增
∴當x=1時f（x）有最小值，并且最小值為1
當a＞0時，
（1）當0＜a≤2時，函數在[1，2]上遞增，所以當x=1時f（x）有最小值，并且最小值為4
（2）當2＜a＜8時，函數在[1，

2a

2

]上遞減，在[

2a

2

，2]上遞增；
所以當x=

2a

2

時f（x）有最小值，并且最小值為

a-aln a 2

2

（3）當8≤a，函數在[1，2]上遞減，所以當x=2時f（x）有最小值，并且最小值為（4-aln2）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，屬于中檔題．