Question

已知向量，，且．

求及；

若的最小值是，求實(shí)數(shù)的值；

設(shè)，若方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件及平面向量的坐標(biāo)表示與模的坐標(biāo)表示，

可以得到；

由（1）可得，原問題等價(jià)為求使的最小值為的的值，這是一個(gè)二次函數(shù)與三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，需分別討論以下三種情況：①，②，③下取得最小值的情況，從而可以得到；（3）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)在及上取值的對(duì)稱性，設(shè)，要保證題中方程有兩個(gè)不同的解，必須保證方程，在僅有一根或有兩個(gè)相等根，由一元二次方程根的分布，可得或．

（1）∵，，

∴

∵， ∴ ∴ 4分

（2）由（1）得，即

∵， ∴

①當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，這與已知矛盾．

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值

由已知得，解得

③當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．

由已知得，解得，這與相矛盾．

綜上所述，為所求． 9分；

根據(jù)正弦函數(shù)在及上取值的對(duì)稱性，因此設(shè)問題等價(jià)于方程，在僅有一根或有兩個(gè)相等根，∴或∴或

綜上，的取值范圍是：或 14分．

考點(diǎn)：1．平面向量數(shù)量積與模的坐標(biāo)表示；2．二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合；3．一元二次方程根的分布．