Question

19．如圖，平行四邊形ABCD中，BD=2$\sqrt{3}$，AB=2，AD=4，將△BCD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（I）求證：AB⊥DE
（Ⅱ）求三棱錐E-ABD的側(cè)面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用面面垂直，證明線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直．證明AB⊥BD，在證明AB⊥平面EBD，可得AB⊥DE
（Ⅱ）三棱錐E-ABD的側(cè)面積等于三面之和，由（1）可得ED⊥平面ABCD，可求三個面的面積．

解答 解：（Ⅰ）證明：由題意：AB=2，BD=2$\sqrt{3}$，AD=4，
∵AB²+BD²=AD²
∴AB⊥BD；
∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD=BD，
∴AB⊥平面EBD．
∵DE⊆平面EBD，
∴AB⊥DE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB⊥BD，
∵CD∥AB，
∴CD⊥BD，從而DE⊥BD．
在三角形DBE中，∵DB=$2\sqrt{3}$，DE=CD=AB=2．
∴${S}_{△BED}=\frac{1}{2}•BD•DE=2\sqrt{3}$
又∵AB⊥平面EBD，EB?平面EBD，
∴AB⊥BE．
∵BE=BC=AD=4，
∴${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}•AB•BE=4$．
又∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，
∴DE⊥平面ABD，
而DE?平面ABD，DE⊥AD．
∴${S}_{△ADE}=\frac{1}{2}•AD•DE=4$
綜上，三個面之和為三棱錐E-ABD的側(cè)面積，即為8+2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直來證明線線垂直．以及側(cè)面積的計算．屬于基礎(chǔ)題．