Question

如圖,是邊長為的正方形，平面，，，與平面所成角為.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得平面，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

(1) 參考解析；(2) ； (3)

試題分析：(1)因?yàn)橐�證平面即直線與平面垂直的證明，通過證明這條直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線即可，依題意易得到.
(2)因?yàn)橐�求二面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034556387548.png" style="vertical-align:middle;" />的余弦值，一般是通過建立空間坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，由于AC所在的向量就是平面EDB的法向量，所以關(guān)鍵是通過待定系數(shù)法求出平面EFB的法向量.再通過兩法向量的夾角得到兩平面的二面角的大小，二面角是鈍角還是銳角通過圖形來確定.
(3)因?yàn)辄c(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得平面.通過對(duì)點(diǎn)M的假設(shè)寫出向量AM.從而由該向量垂直平面的法向量，即可得到相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo).
試題解析：(1)證明： 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034556247435.png" style="vertical-align:middle;" />平面，   所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034556216532.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形，所以，又相交
從而平面.  
(2)解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034556793653.png" style="vertical-align:middle;" />兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034556294397.png" style="vertical-align:middle;" />與平面所成角為， 即，
所以.由可知，.
則，，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034556356418.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以為平面的法向量，，
所以.
因?yàn)槎�面角為銳角，所以二面角的余弦值為. 
(3)解：點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè). 則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034556465523.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以,
即，解得.
此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，，符合題意.