Question

若定義在D上的函數y=f（x）滿足條件：存在實數a，b（a＜b）且[a，b]?D，使得：
①任取x₀∈[a，b]，有f（x₀）=C（C是常數）；
②對于D內任意y₀，當y₀∉[a，b]，總有f（y₀）＜C．
我們將滿足上述兩條件的函數f（x）稱為“平頂型”函數，稱C為“平頂高度”，稱b-a為“平頂寬度”．根據上述定義，解決下列問題：
（1）函數f（x）=-|x+2|-|x-3|是否為“平頂型”函數？若是，求出“平頂高度”和“平頂寬度”；若不是，簡要說明理由．
（2）已知f(x)=mx-

x2+2x+n

，x∈[-2，+∞)是“平頂型”函數，求出m，n的值．
（3）對于（2）中的函數f（x），若f（x）=kx在x∈[-2，+∞）上有兩個不相等的根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）討論x的范圍去掉絕對值，然后根據“平頂型”函數定義進行判定即可，再求出“平頂高度”和“平頂寬度”；
（2）存在區(qū)間[a，b]?[-2，+∞），使得mx-

x2+2x+n

=c恒成立，則x²+2x+n=（mx+c）²恒成立，從而求出m，n的值．
（3）討論x，用k表示出x，從而可求出k的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

2x-1，x＜-2 -5，-2≤x≤3 1-2x，x＞3

，------2′
則存在區(qū)間[-2，3]使x∈[-2，3]時f（x）=-5
且當x＜-2和x＞3時，f（x）＜-5恒成立．                   2′
所以函數f（x）是“平頂型”函數，平頂高度為-5，平頂寬度為5．---2′
（2）存在區(qū)間[a，b]?[-2，+∞），使得mx-

x2+2x+n

=c恒成立----1′
則x²+2x+n=（mx-c）²恒成立，則

m2=1 2mc=2 c2=n

⇒

m=1 n=1

或

m=-1 n=1

----3′
當m=n=1時，f(x)=

2x+1，-2≤x＜-1 -1，x≥-1

不是“平頂型”函數．
當m=-1，n=1時，f(x)=

1，-2≤x＜-1 -2x-1，x≥-1

是“平頂型”函數∴m=-1，n=1
（3）x≥-1時，-2x-1=kx，則

-1

k+2

≥-1，得k＜-2或k≥-1------2′
-2≤x＜-1時，1=kx，則-2≤

1

k

＜-1，得-1＜k≤-

1

2

--2′所以-1＜k≤-

1

2

．1′

點評：本題主要考查了新定義的函數，以及恒成立問題，同時考查了分類討論的數學思想和計算能力，屬于中檔題．