Question

已知函數f（x）=（sinx+cosx）²+2（cos²x-1）
（1）求f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間
（2）當x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值以及取得最大值時的x取值集合．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的求值

分析：（1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式為 f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），由此可得函數的最小正周期，再根據正弦函數的單調性求得f（x）的單調增區(qū)間．
（3）根據x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數的定義域和值域求得f（x）的最大值以及取得最大值時的x取值集合．

解答： 解：（1）由于函數f（x）=（sinx+cosx）²+2（cos²x-1）=1+sin2x+cos2x-1=

2

sin（2x+

π

4

），
故函數的最小正周期為

2π

2

=π．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，故函數的增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，故函數的減區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈z．
（3）當x∈[0，

π

2

]，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，故當2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時，函數f（x）取得最大值為

2

，
故函數的最大值為

2

，取得最大值時的x取值集合為{

π

8

}．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的周期性、單調性、定義域和值域，屬于基礎題．