Question

19．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+a²-7（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=|x+a|（a∈R），若對任意x₁≤1．總存在x₂≥2，使g（x₁）＞f（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）寫出分段函數(shù)，分類討論，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）分類討論，利用對任意x₁≤1．總存在x₂≥2，使g（x₁）＞f（x₂）成立，等價于g（x）＞f（x）_min，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=x|x-a|+a²-7=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}-7，x≥a}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{5}{4}{a}^{2}-7，x＜a}\end{array}\right.$．
∴a=0時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為R，
a＞0時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，$\frac{a}{2}$），（a，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{a}{2}$，a）；
a＜0時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，a），（$\frac{a}{2}$，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（a，$\frac{a}{2}$）；
（2）a=0時，f（x）=x|x|-7，g（x）=|x|，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R，x₂≥2，f（x）_min=-3，對任意x₁≤1，g（x）≥0，滿足題意；
a≥2，x₂≥2，f（x）_min=a²-2a-3，對任意x₁≤1，g（x）≥0，
∴0＞a²-2a-3，∴-1＜a＜3，∴2≤a＜3；
0＜a＜2，x₂≥2，f（x）_min=a²-7，對任意x₁≤1，g（x）≥0，
∴0＞a²-7，∴-$\sqrt{7}$＜a＜$\sqrt{7}$，∴0＜a＜2；
a≤-1時，x₂≥2，f（x）_min=a²-2a-3，對任意x₁≤1，g（x）≥-1-a，
∴-1-a＞a²-2a-3，∴-1＜a＜2，不成立；
-1＜a＜0時，x₂≥2，f（x）_min=a²-2a-3，對任意x₁≤1，g（x）≥0，
∴0＞a²-2a-3，∴-1＜a＜3，不成立；
綜上所述，0≤a＜3．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)范圍的求解，考查分類討論的數(shù)學思想，難度大．