Question

已知f（a^x）=-x²+2x+2（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若a=2，x∈[

1

4

，16]，求f（x）的值域；
（3）若x∈[

1

27

，3]，是否存在實數a的值，使得f（x）的值域為[-1，3]，若存在，求出a的取值的集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）a^x=t＞0，利用換元法即可求出f（x）的解析式；
（2）將a=2代入（1）中求出的函數解析式，利用換元的思想將函數轉化為二次函數求值域，即可求得答案；
（3）對于底數a分0＜a＜1和a＞1兩種情況，再根據二次函數的值域，即可分別列出方程，求出a的值，即可求得答案．

解答：解：（1）令a^x=t＞0，
∴x=log_at，
∴f(x)=-(logax)2+2logax+2(x＞0)．
（2）當a=2時，f(x)=-(log2x)2+2log2x+2(x＞0)，
由題意，x∈[

1

4

，16]，log2x∈[-2，4]，
令m=log2x∈[-2，4]，y=-m2+2m+2，m∈[-2，4]
對稱軸為m=1∈[-2，4]，
∴f（x）的值域為[-6，3]．
（3）①當a＞1時，
∵x∈[

1

27

，3]，則logax∈[loga

1

27

，loga3]，
∵f（x）的值域為[-1，3]，
∴

loga 1 27 =-1 1≤loga3≤3

或

loga3=-3 -1≤loga 1 27 ≤1

，
∴a∈∅；
②當0＜a＜1時，
∵x∈[

1

27

，3]，則logax∈[loga3，loga

1

27

]，
∵f（x）的值域為[-1，3]，
∴

loga3=-1 1≤loga 1 27 ≤3

或

loga 1 27 =3 -1≤loga3≤1

，
解得，a=

1

3

．
綜合①②，存在實數a=

1

3

，使得f（x）的值域為[-1，3]．

點評：本題考查了函數的解析式的求法，函數的值域，以及對數函數的圖象與性質的應用．運用換元法解題時要注意換元以后新變量的取值范圍，是個易錯點．本題是一個函數性質的綜合題，屬于中檔題．