Question

【題目】如圖,四棱錐中，，，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角為？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用余弦定理計(jì)算BC，根據(jù)勾股定理可得BC⊥BD，結(jié)合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBD⊥平面PBC；（2）建立空間坐標(biāo)系，設(shè)λ，計(jì)算平面ABM和平面PBD的法向量，令法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值等于，解方程得出λ的值,即可得解．

（1）證明：因?yàn)樗倪呅?/span>為直角梯形，

且, ,,

所以，

又因?yàn)?/span>。根據(jù)余弦定理得

所以，故.

又因?yàn)?/span>, ,且,平面，所以平面，

又因?yàn)?/span>平面PBC，所以

（2）由（1）得平面平面,

設(shè)為的中點(diǎn)，連結(jié) ，因?yàn)?/span>,

所以,,又平面平面，

平面平面，

平面.

如圖，以為原點(diǎn)分別以，和垂直平面的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

假設(shè)存在滿(mǎn)足要求，設(shè)，即，

所以,

易得平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，，

由得，不妨取.

因?yàn)槠矫?/span>與平面所成的銳二面角為，所以，

解得，（不合題意舍去）.

故存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件，且.