設(shè)圓x2+（y-1）2=1的切線l與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于點A，B，當AB取最小值時，切線l在y軸上的截距為
3+
5
2
3+
5
2
．
分析：設(shè)直線l在x軸與y軸上的截距分別為a、b，得到直線l的截距式．根據(jù)l與已知圓相切利用點到直線的距離公式，建立關(guān)于a、b的等式，化簡得出a2=
b
b-2
，由此算出AB2=
b
b-2
+b2．設(shè)F（b）=
b
b-2
+b2，利用導(dǎo)數(shù)研究F（b）的單調(diào)性，得出當b=
3+
5
2
時F（b）=AB2有最小值，由此即可得到答案．
解答：解：設(shè)直線l與坐標軸的交點分別為A（a，0），B（0，b），可得a＞1且b＞2．
則直線l：
x
a
+
y
b
=1，即bx+ay-ab=0．
∵直線l與圓x2+（y-1）2=1相切，
∴圓心（0，1）到直線l的距離等于半徑，即
|a-ab|
a2+b2
=1，化簡得a2=
b
b-2
，
因此，AB2=a2+b2=
b
b-2
+b2，
設(shè)F（b）=
b
b-2
+b2，求導(dǎo)數(shù)得F'（b）=
-2
(b-2)2
+2b =
2(b-1)(b2-3b+1)
(b-2)2
，其中（b＞2）
若F'（b）=0，可得b=
3+
5
2
（另外兩根小于2，舍去），
∵b∈（2，
3+
5
2
）時，F(xiàn)'（b）＜0；b∈（
3+
5
2
，+∞）時F'（b）＞0．
∴F（b）在（2，
3+
5
2
）上單調(diào)遞減；在（
3+
5
2
，+∞）單調(diào)遞增．
因此，當b=
3+
5
2
時，AB2有最小值，此時a2=
b
b-2
=
5
+2，得a=
5
+2
．
即當AB取最小值時，切線l在y軸上的截距為
3+
5
2
．
點評：本題給出動直線與定圓相切，求直線在兩坐標軸上交點間的距離的最小值．著重考查了直線的基本量與基本形式、直線與圓的位置關(guān)系利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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．

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x2
a+6
+
y2
a-7
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2
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（3）在0＜a＜1的條件下，設(shè)△POA的面積為s1（O是坐標原點，P是曲線C上橫坐標為a的點），以d（a）為邊長的正方形的面積為s2．若正數(shù)m滿足s1≤
14
ms2，問m是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由．

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