已知拋物線(xiàn)C：y2=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M（數(shù)學(xué)公式）；
（1）設(shè)過(guò)F且斜率為1的直線(xiàn)L交拋物線(xiàn)C于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且|AB|=8，求拋物線(xiàn)的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M作斜率互為相反數(shù)的兩條直線(xiàn)，分別交拋物線(xiàn)C于除M之外的D、E兩點(diǎn)．求證：直線(xiàn)DE的斜率為定值．

（1）解：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為（，0），且斜率為1，則直線(xiàn)方程為y=x-，
代入拋物線(xiàn)方程y2=2px得x2-3px+=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=3p
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=4p=8，∴p=2
∴拋物線(xiàn)的方程為y2=4x；
（2）證明：由（1）知M（1，2），設(shè)MD：x=my+1-2m，則ME：x=-my+1+2m
MD：x=my+1-2m，代入y2=4x，可得y2-4my-4+8m=0，∴y=2或y=4m-2，∴D（4m2-4m+1，4m-2）
同理E（4m2+4m+1，-4m-2）
∴直線(xiàn)DE的斜率為=-1
分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)方程求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消去y，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義，即可求拋物線(xiàn)的方程；
（2）設(shè)出直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程，求出D，E的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線(xiàn)的定義，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線(xiàn)C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn)． A到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于5，過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）過(guò)M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試討論直線(xiàn)AP與圓M的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線(xiàn)C：y2=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，A為拋物線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為Q．
（1）若點(diǎn)P（0，4）與點(diǎn)F的連線(xiàn)恰好過(guò)點(diǎn)A，且∠PQF=90°，求拋物線(xiàn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線(xiàn)C：y2=2Px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)y=kx+b（k≠0）與拋物線(xiàn)C交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求證：a2=
16(1-kb)k2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線(xiàn)C：y2=4x，點(diǎn)M（m，0）在x軸的正半軸上，過(guò)M的直線(xiàn)l與C相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）若m=1，且直線(xiàn)l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（II）問(wèn)是否存在定點(diǎn)M，不論直線(xiàn)l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng)，使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線(xiàn)C：y2=8x與點(diǎn)M（-2，2），過(guò)C的焦點(diǎn)，且斜率為k的直線(xiàn)與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若
MA
•
MB
=0，則k=（　　）

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