Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

b-2x

2x+1+a

是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a，b的值；  
（2）判斷并證明f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若對任意實數(shù)t∈R，不等式f（kt²-kt）+f（2-kt）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)的條件可得

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

即可得到a，b；
（2）運用單調(diào)性的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；
（3）不等式f（kt²-kt）+f（2-kt）＜0，由奇函數(shù)f（x）得到f（-x）=-f（x），f（kt²-kt）＜-f（2-kt）=f（kt-2），再由單調(diào)性，即可得到kt²-2kt+2＞0對t∈R恒成立，討論k=0或k＞0，△＜0解出即可．

解答： 解：（1）由于定義域為R的函數(shù)f（x）=

b-2x

2x+1+a

是奇函數(shù)，
則

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

即

b-1=0 b- 1 2 1+a =- b-2 4+a

，解得

b=1 a=2

，
即有f（x）=

1-2x

2+2x+1

，經(jīng)檢驗成立；
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
證明：設(shè)任意x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

1-2x1

2(1+2x1)

-

1-2x2

2(1+2x2)

=

2x2-2x1

(1+2x1)(1+2x2)

，
由于x₁＜x₂，則2^x₁＜2^x₂，則有f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；
（3）不等式f（kt²-kt）+f（2-kt）＜0，
由奇函數(shù)f（x）得到f（-x）=-f（x），
f（kt²-kt）＜-f（2-kt）=f（kt-2），
再由f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，
則kt²-kt＞kt-2，即有kt²-2kt+2＞0對t∈R恒成立，
∴k=0或

k＞0 △=4k2-8k＜0

即有k=0或0＜k＜2，
綜上：0≤k＜2．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的奇偶性和運用，單調(diào)性的判斷和運用，考查運算能力，屬于中檔題．