Question

（2011•焦作一模）漁政船甲、乙同時(shí)收到同一片海域上一艘漁船丙的求救信號(hào)，此時(shí)漁船丙在位于A處的漁政船甲的南偏東40°方向，距漁政船甲70km的C處，漁政船乙在漁政船甲的南偏西20°方向的B處．兩艘漁政船協(xié)調(diào)后，立即讓漁政船甲沿直線AC航行前去漁船丙所在的位置C處救援，漁政船乙仍留在B處執(zhí)行任務(wù)．漁政船甲航行30km到達(dá)D處時(shí)，收到新的指令必須執(zhí)行，于是立即通知在B處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙前去救援漁船丙（漁政船乙沿直線BC航行前去救援漁船丙），此時(shí)B，D兩處相距42km，問(wèn)漁政船乙要航行多少km才能到達(dá)漁船丙所在的位置C處實(shí)施營(yíng)救？

Answer 1

分析：根據(jù)題意△ABD中，AD=30、BD=42且∠BAD=60°，運(yùn)用余弦定理算出AB=48km，進(jìn)而求出cos∠ADB=

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，結(jié)合誘導(dǎo)公式求出cos∠BDC=-cos∠ADB=-

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7

．最后在△BCD中，利用余弦定理求出BC之長(zhǎng)，即可得到漁政船乙到達(dá)漁船丙所在的位置C處實(shí)施營(yíng)救所要航行的路程．

解答：解：根據(jù)題意，得
△ABD中，AD=30km，BD=42km且∠BAD=40°+20°=60°
∴由余弦定理，得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos60°
即42²=AB²+30²-30AB，整理得AB²-30AB-864=0，
解之得AB=48km（舍負(fù)）
因此，cos∠ADB=

AD2+BD2-AB2

2×AD×BD

=

302+422-482

2×30×42

=

1

7

∴cos∠BDC=-cos∠ADB=-

1

7

△BCD中，BD=42km，CD=70-30=40km
∴BC²=BD²+CD²-2BD•CDcos∠BDC=42²+40²-2×42×40×（-

1

7

）=3844（km²）
因此BC=

3844

=62（km）
答：漁政船乙要航行62km，才能到達(dá)漁船丙所在的位置C處實(shí)施營(yíng)救．

點(diǎn)評(píng)：本題以海上輪船的營(yíng)救為例，求漁政船乙到達(dá)漁船丙所在的位置C處實(shí)施營(yíng)救所要航行的路程．著重考查了誘導(dǎo)公式和利用余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．