Question

10．已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=$\frac{lnx}{x}$，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值，并證明f（x）＞g（x）+$\frac{1}{2}$恒成立；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值為3？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的極小值，令h（x）=g（x）+$\frac{1}{2}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，求出h（x）的最大值，從而證出結(jié)論即可；
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的最小值，求出a的值即可．

解答 解：（1）證明：∵f（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）遞減，
當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)，f（x）遞增，
∴f（x）的極小值是f（1）=1，
即f（x）在（0，e]上的最小值是1，
令h（x）=g（x）+$\frac{1}{2}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上遞增，
∴h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2}$＜1=f（x）min，
∴f（x）＞g（x）+$\frac{1}{2}$恒成立，
（2）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）=ax-lnx，（x∈（0，e]）有最小值3，
f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
①a≤0時(shí)，f（x）在（0，e]遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，解得：a=$\frac{4}{e}$，
∴a≤0時(shí)，不存在a使得f（x）的最小值是3；
②0＜$\frac{1}{a}$＜e時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，e]遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，a=e²，滿足條件；
③$\frac{1}{a}$≥e時(shí)，f（x）在（0，e]遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a=$\frac{4}{e}$（舍），
∴$\frac{1}{a}$≥e時(shí)，不存在a使得f（x）的最小值是3；
綜上，存在實(shí)數(shù)a=e²，使得當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f（x）有最小值3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．