Question

已知函數(shù)f（x）=x²+x及兩個正整數(shù)數(shù)列{a_n}，{b_n}若a₁=3，a_n+1=f'（a_n）對任意n∈N^*恒成立，且b₁=1，b₂=λ，且當(dāng)n≥2時(shí)，有；又?jǐn)?shù)列{c_n}滿足：2（λb_n+c_n-1）=2nλb_n+a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}及{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）證明存在k∈N^*，使得對任意n∈N^*均成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，{b_n}是正整數(shù)列，可知，利用b₁=1，b₂=λ，可得因?yàn)閒（x）=x²+x，所以f'（x）=2x+1，根據(jù)a_n+1=f'（a_n），可得a_n+1=2a_n+1，從而可知數(shù)列{a_n+1}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，故可求數(shù)列{a_n}}的通項(xiàng)公式；
（2）由2（λb_n+c_n-1）=2nλb_n+a_n-1得：，從而可得，設(shè)，當(dāng)λ≠1時(shí)，利用錯位相減法可求和；當(dāng)λ=1時(shí)，．這時(shí)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和；
（3）通過分析，推測數(shù)列的第一項(xiàng)最大，證明，即可知存在k=1，使得對任意n∈N^*均成立．
解答：（1）解：由．
因?yàn)閧b_n}是正整數(shù)列，所以．
于是{b_n}是等比數(shù)列，
又b₁=1，b₂=λ，所以（2分）
因?yàn)閒（x）=x²+x，所以f'（x）=2x+1，
∵a_n+1=f'（a_n）
∴a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=3，
∴數(shù)列{a_n+1}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹
∴（5分）
（2）解：由2（λb_n+c_n-1）=2nλb_n+a_n-1得：．
由及得：（6分）
設(shè)①
②
當(dāng)λ≠1時(shí)，①式減去②式，得
于是，（8分）
這時(shí)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和（9分）
當(dāng)λ=1時(shí)，．這時(shí)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和（10分）
（3）證明：通過分析，推測數(shù)列的第一項(xiàng)最大，
下面證明：，n≥2③（11分）
由λ＞0知c_n＞0要使③式成立，只要，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185451898241737/SYS201310241854518982417019_DA/31.png">=4（n-1）λⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²≥2nλⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=2c_n+1，n≥2． 所以③式成立．
因此，存在k=1，使得對任意n∈N^*均成立．（14分）
點(diǎn)評：本題以數(shù)列的性質(zhì)為載體，考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系，考查了錯位相減法求和，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，綜合性較強(qiáng)．