Question

（2013•沈陽二模）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-1|．
（1）解不等式：1≤f（x）+f（x-1）≤2；
（2）若a＞0，求證：f（ax）-af（x）≤f（a）．

Answer 1

分析：（1）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得f（x）+f（x-1）=|x-1|+|x-2|≥1，故只須解不等式f（x）+f（x-1）≤2即可，通過對(duì)x分x≤1，1＜x≤2，x＞2三類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，解之即可；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求得f（ax）-af（x）=|ax-1|-|a-ax|，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=f（a），從而可證結(jié)論．

解答：解：（1）由題f（x）+f（x-1）=|x-1|+|x-2|≥|x-1+2-x|=1．
因此只須解不等式f（x）+f（x-1）≤2．…（2分）
當(dāng)x≤1時(shí)，原不式等價(jià)于-2x+3≤2，即

1

2

≤x≤1．
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，原不式等價(jià)于1≤2，即1＜x≤2．
當(dāng)x＞2時(shí)，原不式等價(jià)于2x-3≤2，即2＜x≤

5

2

．
綜上，原不等式的解集為{x|

1

2

≤x≤

5

2

}．…（5分）
（2）由題f（ax）-af（x）=|ax-1|-a|x-1|．
當(dāng)a＞0時(shí)，f（ax）-af（x）
=|ax-1|-|ax-a|
=|ax-1|-|a-ax|
≤|ax-1+a-ax|
=|a-1|
=f（a）．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查：絕對(duì)值不等式的解法，掌握雙絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，通過分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．