Question

（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（Ⅱ）令，（），其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率≤恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．

Answer 1

解: （Ⅰ）依題意，知的定義域?yàn)椋?，+∞），

當(dāng)時(shí)，，

（2′）令=0，

解得．（∵）

因?yàn)?sub>有唯一解，所以，當(dāng)時(shí)，

，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減。

所以的極大值為，此即為最大值        ………4分

（Ⅱ），，則有≤，在上恒成立，

所以≥，             

當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以≥………8分

（Ⅲ）因?yàn)榉匠?sub>有唯一實(shí)數(shù)解，

所以有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)，

則．令，．  

因?yàn)?sub>，，所以（舍去），，

當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在（，+∞）單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，=0，取最小值．

則既

所以，因?yàn)?sub>，所以（*）

設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

是增函數(shù)，所以至多有一解．

因?yàn)?sub>，所以方程（*）的解為，即，解得．…12分