Question

【題目】以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題：

①設(shè)A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)，若，則P的軌跡是雙曲線；

②過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的弦AB，O為原點(diǎn)，若向量．則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓；

③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)．

其中正確命題的序號為________．

Answer 1

【答案】③④

【解析】

①當(dāng)時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，即可判斷出；

②過定圓上一定點(diǎn)作圓的動(dòng)弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，可得點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，由垂經(jīng)定理可得，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓．

③解方程可得兩根，2．利用橢圓與雙曲線的離心率的范圍即可判斷出；

④由雙曲線可得，其焦點(diǎn)，同理可得橢圓焦點(diǎn)為；

解：①設(shè)、為兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)，當(dāng)時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，因此不正確；

②過定圓上一定點(diǎn)作圓的動(dòng)弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，可得點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，由垂經(jīng)定理可得，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，故不正確．

③解方程可得兩根，．因此可以作為橢圓的離心率，可以作為雙曲線的離心率，因此方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，正確；

④由雙曲線可得，其焦點(diǎn)，同理可得橢圓焦點(diǎn)為，因此有相同的焦點(diǎn)，正確；

綜上可知：其中真命題的序號為 ③④．

故答案為③④．