Question

1．已知二階矩陣M有特征值λ=3，及對應的一個特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，并且M對應的變換將點（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
（2）在極坐標系中，設圓C經過點P（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），圓心是直線$ρsin（\frac{π}{3}-θ）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$與極軸的交點，求圓C的極坐標方程．

Answer 1

分析 （1）設M=$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&jfnhjt5\end{array}]$，根據矩陣變換，列方程組，即可求得a、b、c和d的值，求得M；
（2）圓心為直線$ρsin（\frac{π}{3}-θ）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$與極坐標的交點，令θ=0，得ρ=1，即可求得圓心坐標及半徑，即可求得圓C的極坐標方程．

解答 解：（1）設M=$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&r5vbdxf\end{array}]$，由$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&ln7vntl\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=3$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{c+d=3}\end{array}\right.$，
由$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&nhpfl5z\end{array}]$$[\begin{array}{l}{-1}\\{2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{9}\\{15}\end{array}]$，得：$\left\{\begin{array}{l}{-a+2b=9}\\{-c+2d=3}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，
故M=$[\begin{array}{l}{-1}&{4}\\{-3}&{6}\end{array}]$，
（2）因為圓心為直線$ρsin（\frac{π}{3}-θ）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$與極坐標的交點，
所以令θ=0，得ρ=1，即圓心為（1，0），
又圓心C經過點P（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），
所以圓的半徑r=$\sqrt{3+1-2\sqrt{3}cos\frac{π}{6}}$=1，
所以圓過原點，其極坐標方程ρ=2cosθ．

點評 本題考查矩陣的變換，考查極坐標系中直線與圓位置關系，考查轉化思想，屬于中檔題．