Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（0，-2），直線AF的斜率為

2 3

3

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與C相交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓的離心率以及直線的斜率，求出橢圓的幾何量，然后求橢圓C的方程；
（2）由設(shè)直線的斜率為k，方程為y=kx-2，聯(lián)立直線與橢圓方程，通過(guò)△=16（4k²-3）＞0，求出k的范圍，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，求出|PQ|，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離，得到S_△OPQ的表達(dá)式，利用換元法以及基本不等式，通過(guò)面積的最大值，求出k的值，得到直線方程．

解答： 解：（1）設(shè)F（c，0），由題意k_AF=

2

c

=

2 3

3

，
∴e=

3

，又∵離心率

c

a

=

3

2

，∴a=2，
∴b=

a2-c2

=1，橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；-----------------------（4分）
（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，方程為y=kx-2，
聯(lián)立直線與橢圓方程：

x2 4 +y2=1 y=kx-2

，化簡(jiǎn)得：（1+4k²）x²-16kx+12=0，
由△=16（4k²-3）＞0，∴k²＞

3

4

，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則 x₁+x₂=

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

，--------------------（6分）
∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

4 4k2-3

1+4k2

，
坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為d=

2

k2+1

，
S_△OPQ=

1

2

1+k2

•

4 4k2-3

1+4k2

•

2

k2+1

=

4 4k2-3

1+4k2

，-----------------（8分）
令t=

4k2-3

（t＞0），則 S_△OPQ=

4t

t2+4

=

4

t+ 4 t

，
∵t+

4

t

≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t=

4

t

，即t=2時(shí)等號(hào)成立，
∴S_△OPQ≤1，故當(dāng)t=2，即

4k2-3

=2，k²=

7

4

＞

3

4

，
∴k=±

7

2

時(shí)，△OPQ的面積最大，------------------------（10分）
此時(shí)直線的方程為：y=±

7

2

x-2．---------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的方程的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．