Question

19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥AB，AB=BC=CP=BP=2，CD=1．
（1）求點(diǎn)B到平面DCP的距離；
（2）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），設(shè)直線MP與平面DCP所成角為α，求sinα的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PC，由面DCP⊥面BCP可知，BF即點(diǎn)B到面DCP的距離；
（2）確定點(diǎn)M到面DCP的距離即點(diǎn)B到面DCP的距離，利用MP的范圍，即可求sinα的取值范圍．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PC，由面DCP⊥面BCP可知，BF即點(diǎn)B到面DCP的距離，
在正△PBC中，$BF=\sqrt{3}$，即點(diǎn)B到平面DCP的距離為$\sqrt{3}$． …（6分）
（2）∵CD∥AB，∴點(diǎn)M到面DCP的距離即點(diǎn)B到面DCP的距離，
而$MP∈[2，2\sqrt{2}]$，…（8分）
所以$sinα=\frac{BF}{MP}∈[\frac{{\sqrt{6}}}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．