【答案】
分析:(I )先求定義域,再研究單調性,從而求最值.
(II)先構造函數F(x)再由以其圖象上任意一點P(x
,y
)為切點的切線的斜率k≤

恒成立,知導函數≤

恒成立,再轉化為所以

求解.
(III)先把程2mf(x)=x
2有唯一實數解,轉化為所以x
2-2mlnx-2mx=0有唯一實數解,再利用單調函數求解.
解答:解:(Ⅰ)依題意,知f(x)的定義域為(0,+∞).(1分)
當

時,

,

.(2分)
令f′(x)=0,解得x=1.
當0<x<1時,f′(x)>,此時f(x)單調遞增;
當x>1時,f′(x)<0,此時f(x)單調遞減.(3分)
所以f(x)的極大值為

,此即為最大值.(4分)
(Ⅱ)

,
所以

,在x
∈(0,3]上恒成立,(6分)
所以

,x
∈(0,3](7分)
當x
=1時,

取得最大值

.所以a≥

.(9分)
(Ⅲ)因為方程2mf(x)=x
2有唯一實數解,
所以x
2-2mlnx-2mx=0有唯一實數解.
設g(x)=x
2-2mlnx-2mx,則

.
令g′(x)=0,得x
2-mx-m=0.
因為m>0,x>0,
所以

(舍去),

,(10分)
當x∈(0,x
2)時,g′(x)<0,g(x)在(0,x
2)單調遞減,
當x∈(x
2,+∞)時,g′(x)>0,g(x)在(x
2,+∞)單調遞增.
當x=x
2時,g′(x
2)=0g(x),g(x
2)取最小值g(x
2).(11分)
因為g(x)=0有唯一解,所以g(x
2)=0.
則

,即

所以2mlnx
2+mx
2-m=0,
因為m>0,所以2lnx
2+x
2-1=0.(12分)
設函數h(x)=2lnx+x-1,
因為當x>0時,h(x)是增函數,所以h(x)=0至多有一解.(13分)
因為h(I)=0,所以方程的解為(X
2)=1,即

,
解得

(14分)
點評:本題主要考查函數的單調性、極值、最值、不等式、方程的解等基本知識,同時考查運用導數研究函數性質的方法,分類與整合及化歸與轉化等數學思想.