Question

從1、2、3…n中任取三個不同的數(shù)，則取出的三個數(shù)可作為三角形三邊邊長的概率為

 

．（用n表示）

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：從1、2、3…n中任取三個不同的數(shù)，所有可能的組數(shù)為

C

3 n

=

n(n-1)(n-2)

6

；再以三邊長中最長的邊為標(biāo)準(zhǔn)分類，從而確定取出的三個數(shù)可作為三角形三邊邊長的組數(shù)，從而利用概率公式求概率．

解答： 解：從1、2、3…n中任取三個不同的數(shù)，所有可能的組數(shù)為

C

3 n

=

n(n-1)(n-2)

6

；
不妨設(shè)所取的三個數(shù)為：c＜b＜a；
則由b+c＞a知，

a

2

＜b＜a；
①當(dāng)a為偶數(shù)，a≥4時，

a

2

+1≤b≤a-1；
又∵a-b＜c＜b；
∴a-b+1≤c≤b-1；
故c的可能取值個數(shù)為（b-1）-（a-b+1）+1=2b-a-1；
故b=a-1時，c的可能取值個數(shù)為a-3；
b=a-2時，c的可能取值個數(shù)為a-5；
…
b=

a

2

+1時，c的可能取值個數(shù)為1；
故1+3+5+…+（a-3）=(

a-2

2

)2；
②當(dāng)a為奇數(shù)，a≥5時，
b=

a

2

+1.5時，c的可能取值個數(shù)為2；
b=

a

2

+2.5時，c的可能取值個數(shù)為4；
b=

a

2

+3.5時，c的可能取值個數(shù)為6；
…
b=a-1時，c的可能取值個數(shù)為a-3；
故2+4+6+…+a-3=(

a-3

2

)2+

a-3

2

；
故當(dāng)n為偶數(shù)時，
取出的三個數(shù)可作為三角形三邊邊長的組數(shù)有
（1²+2²+…+(

n-2

2

)2）+（1²+2²+…+(

n-4

2

)2）+1+2+3+…+

n-4

2

=

n(n-2)(2n-5)

24

；
故P=

n(n-2)(2n-5)

24

×

6

n(n-1)(n-2)

=

2n-5

4(n-1)

，（n≥4）；
故當(dāng)n為奇數(shù)時，
取出的三個數(shù)可作為三角形三邊邊長的組數(shù)有
（1²+2²+…+(

n-3

2

)2）+（1²+2²+…+(

n-3

2

)2）+1+2+3+…+

n-3

2

=

(n-1)(n-3)(2n-1)

24

；
故P=

(n-1)(n-3)(2n-1)

24

×

6

n(n-1)(n-2)

=

(n-3)(2n-1)

4n(n-2)

，（n≥5）．
故答案為：

2n-5

4(n-1)

，（n≥4，n為偶數(shù)），

(n-3)(2n-1)

4n(n-2)

，（n≥5，n為奇數(shù)）．

點評：本題考查了排列組合的應(yīng)用，同時考查了古典概型概率的求法，屬于難題．