Question

已知函數(shù)，a∈R是常數(shù)．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）求時，f（x）零點的個數(shù)；
③求證：（n∈N^*，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】分析：（1）討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，先求出導函數(shù)f′（x），令f′（x）＞0，本小題要對參數(shù)a分a≥0，-1＜a＜0，a≤-1三種情形進行討論，對運算能力要求較高；
（2），由（1）的結論-1＜a=＜0，所以分三個單調(diào)區(qū)間來利用單調(diào)性來討論函數(shù)的零點的個數(shù)問題．
（3）是近年來高考考查的熱點問題，即與函數(shù)結合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結論構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，對于函數(shù)取單調(diào)區(qū)間上的正整數(shù)自變量n有某些結論成立，進而解答出這類不等式問題的解．
解答：解：（1），
若a≥0，則f′（x）＞0，f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；若a≤-1，
則f′（x）＜0，f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；若-1＜a＜0，由f′（x）=0
解得，，，
直接討論f′（x）知，f（x）在
和單調(diào)遞減，
在單調(diào)遞增．
（2）觀察得f（0）=0，時，
由①得f（x）在單調(diào)遞減，
所以f（x）在上有且只有一個零點；
，
計算得，
f（x₁）f（x₂）＜0且f（x）在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以f（x）在上有且只有一個零點；
根據(jù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)單調(diào)性比較知，
存在充分大的M∈R，使f（M）＜0，f（x₂）f（M）＜0
且f（x）在區(qū)單調(diào)遞減，
所以f（x）在上
從而在上有且只有一個零點．
綜上所述，時，f（x）有3個零點．
（3）取a=-1，，
由①得f（x）單調(diào)遞減，
所以?x＞0，f（x）＜f（0）=0，，
從而ln（1+）（1+）…（1+）
=ln（1+）ln（1+）+…（1+）
＜++…，
由lnx單調(diào)遞增得．
點評：單調(diào)性刻畫函數(shù)兩個變量變化趨勢的一致性，是認識函數(shù)的重要角度，運用單調(diào)性可以確定函數(shù)零點的個數(shù)，考查導數(shù)使單調(diào)性可以定量、精確研究這一重要工具．參數(shù)是可變的常數(shù)，處理參數(shù)是比較高端的數(shù)學素養(yǎng)，本題考查了這一素養(yǎng)，因此對學生的綜合應用能力要求較高．