Question

（2012•崇明縣二模）給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}=m．下列關于函數f（x）=|x-{x}|的四個命題：
①函數y=f（x）的定義域為R，值域為[0，

1

2

]；
②函數y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數；
③函數y=f（x）是周期函數，最小正周期為1；
④函數y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱．
其中正確命題的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：此題是新定義，首先理解好什么是“m叫做離實數x最近的整數”，然后根據函數f（x）=|x-{x}|的表達式畫出其圖象，就可以判斷出正確命題是①②④．

解答：解：①∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數），
∴-

1

2

＜x-m≤

1

2

，∴0≤|x-m|≤

1

2

，
∴函數f（x）=|x-{x}|=|x-m|的值域為[0，

1

2

]．
②由定義知：當x=-

1

2

時，m=-1，∴f（-

1

2

）=|-

1

2

-（-1）|=

1

2

；
當-

1

2

＜x≤

1

2

時，m=0，∴f（x）=|x-0|=|x|≤

1

2

，
故f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上不是增函數，所以②不正確．
③由-

1

2

＜x-m≤

1

2

得-

1

2

＜(x+1)-(m+1)≤

1

2

，
∴{x+1}={x}+1=m+1，∴f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），
所以函數y=f（x）是周期函數，最小正周期為1．
④由②可知：在x∈[-

1

2

，

1

2

]時，f（x）=|x|關于y周對稱；
又由③可知：函數y=f（x）是周期函數，最小正周期為1，
∴函數f（x）的圖象關于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱．
故答案為①③④．

點評：此題是新定義，綜合考查了函數的值域、單調性、周期性及對稱性．理解好新定義的含義及畫出函數f（x）=|x-{x}|的圖象是做好本題的關鍵．