Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系x0y中，直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t y= 2 2 + 3 2 t

（t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系x0y的O點(diǎn)為極點(diǎn)，0x為極軸，且長度單位相同，建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos(θ-

π

4

)．
（1）求直線l的傾斜角；
（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求AB．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線參數(shù)方程的意義，可得直線l的傾斜角為α滿足余弦等于

1

2

且正弦等于

3

2

，由此即可得到直線l的傾斜角α；
（2）將曲線C化成直角坐標(biāo)方程，得它是（

2

2

，

2

2

）為圓心且半徑為1的圓，由點(diǎn)到直線的距離公式算出弦AB到圓心的距離，最后根據(jù)垂徑定理可算出弦AB的長．

解答：解：（1）設(shè)直線l的傾斜角為α，根據(jù)直線參數(shù)方程的意義，得

cosα= 1 2 sinα= 3 2

且α∈[0，π），可得α=

π

3

，
∴即直線l的傾斜角為

π

3

…（5分）
（2）由（1）得直線l是經(jīng)過點(diǎn)（0，

2

2

），且傾斜角為

π

3

的直線，斜率k=tan

π

3

=

3

∴直線l的直角坐標(biāo)方程為y=

3

x+

2

2

，
而曲線C：ρ=2cos(θ-

π

4

)，即ρ²=

2

ρcosθ+

2

ρsinθ，
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=

2

x+

2

y，整理得（x-

2

2

）²+（y-

2

2

）²=1
可得曲線C是以（

2

2

，

2

2

）為圓心，半徑為1的圓
∵C到直線l的距離d=

| 6 2 |

3+1

=

6

4

，
∴線段AB的長為2

12-( 6 4 )2

=

10

2

  …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線性的參數(shù)方程和圓的極坐標(biāo)方程，求直線被圓截得弦AB的長，著重考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．