Question

已知橢圓，與直線x+y-1=0相交于A，B兩點，且OA⊥OB，為坐標原點．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若橢圓長軸長的取值范圍是，求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）將x+y-1=0代入橢圓方程整理得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0（﹡）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
而．（3分）
又∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0∴∴a²+b²=2a²b²，∴①
經驗證，此時方程（﹡）有解，∴（7分）
（Ⅱ）將代入①得
2-e²=2a²（1-e²），∴=（10分）
而，∴

而0＜e＜1，∴
故e的取值范圍為（13分）．
分析：本題主要考查橢圓的標準方程與性質、直線與橢圓的位置關系及參數的求值問題，
（Ⅰ）通過直線與橢圓的位置關系，利用代入法求解相應的代數式的值；
（Ⅱ）利用長軸長的取值范圍，結合關系式與不等式的求解來確定離心率的取值范圍．
點評：本題是直線與圓錐曲線的綜合問題．近年高考中圓錐曲線問題的解答難度有逐漸變低的趨勢．通過解析幾何自身的特點，結合相應的數學知識，比如不等式、數列、函數、向量、導數等，考查各知識點之間的綜合應用，也是考查學生綜合能力的一大考點．在新課標的高考中，圓錐曲線的考查以基礎知識為主，難度不會太大．