Question

在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y²=4x相交于不同的A、B兩點．若

OA

?

OB

=-4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為my+b=x．與拋物線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系，再利用數(shù)量積運算法則即可得到b，進而得到直線l過定點．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為my+b=x．
聯(lián)立

y2=4x my+b=x

，化為y²-4my-4b=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b．
∴x₁x₂=（my₁+b）（my₂+b）=m²y₁y₂+bm（y₁+y₂）+b²，
∵

OA

?

OB

=-4，∴x₁x₂+y₁y₂=-4，
∴m²y₁y₂+bm（y₁+y₂）+b²+y₁y₂=-4，
∴b²+（m²+1）（-4b）+4m×bm=-4，
化為b²-4b+4=0，解得b=2．
對于直線l的方程：my+b=x．令y=0，則x=2，
故直線l過定點（0，2）．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為拋物線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、數(shù)量積運算、直線過定點問題等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．