Question

11．已知等比數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3^n-1，設數(shù)列{b_n}滿足對任意自然數(shù)n都有$\frac{b_1}{a_1}$+$\frac{b_2}{a_2}$+$\frac{b_3}{a_3}$+┅+$\frac{b_n}{a_n}$=n²恒成立
①求數(shù)列{b_n}的通項公式；
②求b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₅的值．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{b_n}滿足對任意自然數(shù)n都有$\frac{b_1}{a_1}$+$\frac{b_2}{a_2}$+$\frac{b_3}{a_3}$+┅+$\frac{b_n}{a_n}$=n²恒成立，利用遞推關系可得：n=1時，$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$=1，可得b₁=a₁．n≥2時，$\frac{b_n}{a_n}$=n²-（n-1）²=2n-1，化簡即可得出．
（2）數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）×3^n-1，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）數(shù)列{b_n}滿足對任意自然數(shù)n都有$\frac{b_1}{a_1}$+$\frac{b_2}{a_2}$+$\frac{b_3}{a_3}$+┅+$\frac{b_n}{a_n}$=n²恒成立，
∴n=1時，$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$=1，可得b₁=a₁=1．
n≥2時，$\frac{b_1}{a_1}$+$\frac{b_2}{a_2}$+$\frac{b_3}{a_3}$+┅+$\frac{_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=（n-1）²，
∴$\frac{b_n}{a_n}$=n²-（n-1）²=2n-1，∴b_n=（2n-1）×3^n-1，n=1時也成立．
∴b_n=（2n-1）×3^n-1．
（2）數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）×3^n-1，
3S_n=3+3×3²+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ，
∴-2S_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）×3ⁿ=1+2×$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-（2n-1）×3ⁿ，
∴S_n=（n-1）×3ⁿ+1．
∴b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₅=S₂₀₁₅=2014×3²⁰¹⁵+1．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．