Question

已知二次函數(shù)r（x）=ax²-（2a-1）x+b的一個零點是2-

1

a

，函數(shù)g（x）=lnx，設(shè)函數(shù)f（x）=r（x）-g（x）．
（1）求b的值；
（2）當(dāng)a＞0時，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知條件知，將2-

1

a

帶入r（x）=0即可求出b=0；
（2）求f′（x）=

(2ax+1)(x-1)

x

，所以解f′（x）≥0即可得出f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵r（x）的一個零點為2-

1

a

；
∴r(2-

1

a

)=a(2-

1

a

)2-(2a-1)(2-

1

a

)+b=0；
∴b=0；
（2）f（x）=ax²-（2a-1）x-lnx；
f′（x）=2ax-（2a-1）-

1

x

=

2ax2-(2a-1)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

；
∵a＞0，x＞0；
∴x≥1時，f′（x）≥0；
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞）；

點評：考查函數(shù)零點的概念，以及通過解f′（x），解f′（x）≥0得到函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間的方法．