Question

已知某山區(qū)小學有100名四年級學生，將全體四年級學生隨機按00～99編號，并且按編號順序平均分成10組，現要從中抽取10名學生，各組內抽取的編號依次增加10進行系統抽樣．
（1）若抽出的一個號碼為22，則此號碼所在的組數是多少？據此寫出所有被抽出學生的號碼；
（2）分別統計這10名學生的數學成績，獲得成績數據的莖葉圖如圖所示，求這樣本的方差；
（3）在（2）的條件下，從這10名學生中隨機抽取兩名，記ξ為成績大于75分的人數，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖

專題：概率與統計

分析：（1）由題意，抽出號碼為22的組數為第3組．因為2+10×（3-1）=22，所以第1組抽出的號碼應該為02，由此能求出抽出的10名學生的號碼．
（2）由莖葉圖能求出這10名學生的平均成績和樣本方差．
（3）ξ的取值為0，1，2．由超幾何分布能求出ξ的分布列及數學期望．

解答： 解：（1）由題意，抽出號碼為22的組數為第3組．…（1分）
因為2+10×（3-1）=22，所以第1組抽出的號碼應該為02，
抽出的10名學生的號碼依次分別為：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92．…（2分）
（2）這10名學生的平均成績?yōu)椋?br />

.

x

=

1

10

×（81+70+73+76+78+79+62+65+67+59）=71，…（4分）
故樣本方差為：S2=

1

10

（10²+1²+2²+5²+7²+8²+9²+6²+4²+12²）=52．…（6分）
（3）ξ的取值為0，1，2．由超幾何分布得：…（7分）
P（ξ=0）=

C 2 6

C 2 10

=

1

3

，…（8分）
P（ξ=1）=

C 1 4 C 1 6

C 2 10

=

8

15

，…（9分）
P（ξ=2）=

C 2 4

C 2 10

=

2

15

．…（10分）
所以，隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	1 3	8 15	2 15

…（11分）
∴Eξ=0×

1

3

+1×

8

15

+2×

2

15

=

4

5

．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．解題時要注意莖葉圖的合理運用．