Question

 已知橢圓的離心率為，

直線與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線過(guò)點(diǎn)F₁，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；

（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C₁的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F₂，求四邊形ABCD的面積的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）

相切   

∴橢圓C₁的方程是    …………3分

（Ⅱ）∵M(jìn)P=MF₂，∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F₂（2，0）的距離，    ∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以為準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線

∴點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為   …………6分

（Ⅲ）當(dāng)直線AC的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線AC的斜率為k，

，則直線AC的方程為

聯(lián)立

所以

….8分

由于直線BD的斜率為代換上式中的k可得

∵，

∴四邊形ABCD的面積為……..10分

由

所以時(shí)取等號(hào)．    …………11分

易知，當(dāng)直線AC的斜率不存在或斜率為零時(shí)，四邊形ABCD的面積

綜上可得，四邊形ABCD面積的最小值為 …………12分