Question

【題目】在圓內(nèi)有一點(diǎn),為圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線與的連線交于點(diǎn)．

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程．

（Ⅱ）若動(dòng)直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn).問是否存在一個(gè)定圓與動(dòng)直線總相切.若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在定圓總與直線相切

【解析】

（Ⅰ）由點(diǎn)在線段的上，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)可得，從而由橢圓的定義可得結(jié)果；（Ⅱ）直線斜率不存在時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為，直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，解消去得方程：，利用向量垂直數(shù)量積為零，結(jié)合韋達(dá)定理可得，由點(diǎn)點(diǎn)直線距離公式可得原點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而可得結(jié)果.

（Ⅰ）圓的圓心為，半徑為

點(diǎn)在線段的垂直平分線上

又點(diǎn)在線段的上

由橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，

，故點(diǎn)的軌跡方程為

（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的圓.設(shè)， .

由已知，以為直徑的圓恒過原點(diǎn)，即，所以.

當(dāng)直線垂直于軸時(shí)， ， ，所以，又，解得，

不妨設(shè)， 或， ，即直線的方程為或，此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離為.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，解消去得方程： 因?yàn)橹本�與橢圓交于， 兩點(diǎn)，所以方程的判別式

即，且， .

由，得 ，

所以整理得（滿足）.

所以原點(diǎn)到直線的距離.

綜上所述，原點(diǎn)到直線的距離為定值，即存在定圓總與直線相切.