Question

設P₁，P₂，P₃，…P_n，是曲線上的點列，Q₁，Q₂，Q₃，…Q_n是x軸的正半軸上的點列，O為坐標原點，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_nQ_n+1P_n+1是等邊三角形，設它們的邊長分別為a₁，a₂，a₃，…a_n，求{a_n}前n項和S_n．

Answer 1

解：當n=1時，由，得，
∴，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，
則由△Q_n-1P_nQ_n為正三角形，（Q₀為原點，S₀=0），
∴，
又由點P_n在曲線上，
∴，
即
∴．
兩式相減，得，
∵a_n+1+a_n≠0，
∴
可驗證，
故數列{a_n}是以為首項，為公差的等差數列，
∴，
∴．
分析：當n=1時，由，得，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，由△Q_n-1P_nQ_n為正三角形知，由點P_n在曲線上，知即，由此入手能夠求出{a_n}前n項和S_n．
點評：本題考查等差數列的性質和函數的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．具有一定的難度，容易出錯．解題時要認真審題，仔細解答．