Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²，則a₃的所有可能取值的和為12．

Answer 1

分析 運(yùn)用當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．化簡(jiǎn)整理，可得a_n-a_n-1=4或a_n=-a_n-1，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{1}{8}$（a₁+2）²，
解得a₁=2，
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²-$\frac{1}{8}$（a_n-1+2）²，
即為（a_n-2）²=（a_n-1+2）²，
可得a_n-a_n-1=4或a_n=-a_n-1，
可得a₃=a₁+8=10，或a₃=2，
則a₃的所有可能取值的和為12．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和的關(guān)系，注意運(yùn)用結(jié)論：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．