Question

2．（1）已知橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，準線方程為x=±8，求該橢圓的標準方程
（2）求與雙曲線x²-2y²=2有公共漸近線，且過點M（2，-2）的雙曲線方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}=8}\end{array}\right.$，即可求該橢圓的標準方程；
（2）設(shè)出雙曲線方程，代入點的坐標求解即可．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}=8}\end{array}\right.$，∴a=$4\sqrt{2}$，c=4，b=4，
∴橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{16}=1$；
（2）所求雙曲線與雙曲線x²-2y²=2有公共漸近線，
所以設(shè)雙曲線為：x²-2y²=m，過點M（2，-2）
則4-8=m，m=-4．
所求雙曲線方程為：x²-2y²=-4．即$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{4}=1$．

點評 本題考查橢圓、雙曲線方程的求法，設(shè)雙曲線方程是簡化解題的關(guān)鍵．