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已知函數f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然數的底數,a∈R.
(1)當a<0時,解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)在[-1,1]上是單調函數,求a的取值范圍;
(3)當a=0時,求整數k的所有值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解.
(1)(2)(3){-3,1}
(1)因為ex>0,所以不等式f(x)>0即為ax2+x>0.
又a<0,所以不等式可化為x <0,所以不等式f(x)>0的解集為.
(2)f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex,
①當a=0時,f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,當且僅當x=-1時取等號,故a=0符合要求;
②當a≠0時,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,因為Δ=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,所以g(x)=0有兩個不相等的實數根x1、x2,不妨設x1>x2,因此f(x)有極大值又有極小值.若a>0,因為g(-1)·g(0)=-a<0,所以f(x)在(-1,1)內有極值點,故f(x)在[-1,1]上不單調.若a<0,可知x1>0>x2,因為g(x)的圖象開口向下,要使f(x)在[-1,1]上單調,因為g(0)=1>0,必須滿足所以-≤a≤0.綜上可知,a的取值范圍是.
(3)當a=0時,方程即為xex=x+2,由于ex>0,所以x=0不是方程的解,所以原方程等價于ex-1=0.
令h(x)=ex-1,因為h′(x)=ex>0對于x∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)內是單調增函數,又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e-3<0,h(-2)=e-2>0,所以方程f(x)=x+2有且只有兩個實數根,且分別在區(qū)間[1,2]和[-3,-2]上,所以整數k的所有值為{-3,1}
練習冊系列答案
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已知函數都是定義在R上的偶函數,若時,,則為(    )
A.正數B.負數C.零D.不能確定

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A.B.C.D.

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A.B.C.D.

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上的奇函數,且時,,對任意,不等式恒成立,則的取值范圍(   )
A.B.C.D.

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(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]時有解,求實數k的取值范圍.

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函數y=1-的最大值與最小值的和為    .

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函數f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的遞增區(qū)間依次是(  )
A.(-∞,0],(-∞,1]B.(-∞,0],[1,+∞)
C.[0,+∞),(-∞,1]D.[0,+∞),[1,+∞)

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