【題目】如圖，菱形與四邊形相交于，，平面，，，，為的中點，.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面成角的正弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得，再由線面平行判定定理以及面面平行判定定理得平面平面，最后根據(jù)面面平行性質(zhì)得結論，（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，通過解方程組得面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關系求結果.

試題解析：（1）證明：取的中點，連接，.

因為為菱形對角線的交點，所以為中點.

又為中點，所以，又平面，平面，所以平面.

又因為，分別為，的中點.

所以，又因為，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，，所以平面平面.

又平面，所以平面.

（2）解：連接.

設菱形的邊長，則由，得，.

又因為，所以.

則在直角中，，所以.

由平面，，得平面.

以為坐標原點，分別以，所在直線為軸，軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，

則，.

設為平面的一個法向量，

則即.

令，得，所以.

又，

所以.

設直線與平面所成角為，則.

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，圓：，圓：.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

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（3）從甲產(chǎn)品抽取的10件樣品中有放回地隨機抽取3件，也從乙產(chǎn)品抽取的10件樣品中有放回地隨機抽取3件；抽到的優(yōu)等品中，記“甲產(chǎn)品恰比乙產(chǎn)品多2件”為事件，求事件的概率.

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（3）若對于任意的實數(shù)恒有求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】為評估設備生產(chǎn)某種零件的性能，從設備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：

直徑/

58

59

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

73

合計

件數(shù)

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

經(jīng)計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值.

（Ⅰ）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進行評判（表示相應事件的概率）；①；

②；③.

評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備的性能等級.

（2）將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品.

（ⅰ）從設備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學期望；

（ⅱ）從樣本中隨意抽取2件零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學期望.

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【題目】響應“文化強國建設”號召，某市把社區(qū)圖書閱覽室建設增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求，隨機抽取市民200人做調(diào)查，統(tǒng)計顯示，男士喜歡閱讀古典文學的有64人，不喜歡的有56人；女士喜歡閱讀古典文學的有36人，不喜歡的有44人.

（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.25的前提下認為喜歡閱讀古典文學與性別有關系？

（2）為引導市民積極參與閱讀，有關部門牽頭舉辦市讀書交流會，從這200人中篩選出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜歡古典文學.現(xiàn)從這9名代表中任選3名男代表和2名女代表參加交流會，記為參加交流會的5人中喜歡古典文學的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．

附：，其中．

參考數(shù)據(jù)：

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

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