Question

5．過(guò)正三棱錐的側(cè)棱與底面中心作截面，已知截面是等腰三角形，若側(cè)棱與底面所成的角為θ，則cosθ的值是$\frac{1}{3}$或$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 如圖，延長(zhǎng)BO交AC于D，則D為AC中點(diǎn)，∠SDC為側(cè)面和底面所成角的平面角．截面△SBD分SD=BD，SB=BD 兩種情況求解．

解答 解：延長(zhǎng)BO交AC于D，則D為AC中點(diǎn)．截面為△SBD．
由正棱錐的性質(zhì)，SO⊥面ABC，SD⊥AC，BD⊥AC，∠SDC為側(cè)面和底面所成角的平面角．設(shè)底面邊長(zhǎng)BC=2．易知SB≠SD．
（1）若SD=BD，則SC=BC，正三棱錐S-ABC為正四面體．BD=$\sqrt{3}$，在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDC=$\frac{3+3-4}{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．
（2）若SB=BD=$\sqrt{3}$，在RT△SDA中，SD=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDC=$\frac{3+2-3}{2×\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$
故答案為：$\frac{1}{3}$或$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．